[NOIP 2018 提高组] 填数游戏

题目背景

NOIP2018 提高组 D2T2

题目描述

小 D 特别喜欢玩游戏。这一天，他在玩一款填数游戏。

这个填数游戏的棋盘是一个 \(n \times m\) 的矩形表格。玩家需要在表格的每个格子中填入一个数字（数字 \(0\) 或者数字 \(1\)），填数时需要满足一些限制。

下面我们来具体描述这些限制。

为了方便描述，我们先给出一些定义：

• 我们用每个格子的行列坐标来表示一个格子，即（行坐标，列坐标）。注意：行列坐标均从 \(0\) 开始编号。

• 合法路径 \(P\)：一条路径是合法的当且仅当：

  1. 这条路径从矩形表格的左上角的格子 \((0,0)\) 出发，到矩形的右下角格子 \((n - 1,m - 1)\) 结束；
  2. 在这条路径中，每次只能从当前的格子移动到右边与它相邻的格子，或者从当前格子移动到下面与它相邻的格子。

  例如：在下面这个矩形中，只有两条路径是合法的，它们分别是 \(P_1\)：\((0,0)\to (0,1)\to (1,1)\) 和 \(P_2\)：\((0,0) \to (1,0) \to (1,1)\)。

对于一条合法的路径 \(P\)，我们可以用一个字符串 \(w(P)\) 来表示，该字符串的长度为 \(n + m - 2\)，其中只包含字符 \(\texttt R\) 或者字符 \(\texttt D\)，第 \(i\) 个字符记录了路径 \(P\) 中第 \(i\) 步的移动方法。\(\texttt R\) 表示移动到当前格子右边与它相邻的格子，\(\texttt D\) 表示移动到当前格子下面与它相邻的格子。例如，上图中对于路径 \(P_1\)，有 \(w(P_1) = \texttt {RD}\)；而对于另一条路径 \(P_2\)，有 \(w(P_2) = \texttt {DR}\)。

同时，将每条合法路径 \(P\) 经过的每个格子上填入的数字依次连接后，会得到一个长度为 \(n + m - 1\) 的 \(01\) 字符串，记为 \(s(P)\)。例如，如果我们在格子 \((0,0)\) 和 \((1,0)\) 上填入数字 \(0\)，在格子 \((0,1)\) 和 \((1,1)\) 上填入数字 \(1\)（见上图红色数字），那么对于路径 \(P_1\)，我们可以得到 \(s(P_1) = 011\)，对于路径 \(P_2\)，有 \(s(P_2) = 001\)。

游戏要求小 D 找到一种填数字 \(0\)、\(1\) 的方法，使得对于两条路径 \(P_1\)，\(P_2\)，如果 \(w(P_1) > w(P_2)\)，那么必须 \(s(P_1) \le s(P_2)\)。我们说字符串 \(a\) 比字符串 \(b\) 小，当且仅当字符串 \(a\) 的字典序小于字符串 \(b\) 的字典序，字典序的定义详见第一题。但是仅仅是找一种方法无法满足小 D 的好奇心，小 D 更想知道这个游戏有多少种玩法，也就是说，有多少种填数字的方法满足游戏的要求？

小 D 能力有限，希望你帮助他解决这个问题，即有多少种填 \(0\)、\(1\) 的方法能满足题目要求。由于答案可能很大，你需要输出答案对 \(10^9 + 7\) 取模的结果。

输入格式

输入文件共一行，包含两个正整数 \(n,m\)，由一个空格分隔，表示矩形的大小。其中 \(n\) 表示矩形表格的行数，\(m\) 表示矩形表格的列数。

输出格式

输出共一行，包含一个正整数，表示有多少种填 \(0\)、\(1\) 的方法能满足游戏的要求。 注意：输出答案对 \(10^9+7\) 取模的结果。

样例 #1

样例输入 #1

2 2

样例输出 #1

12

样例 #2

样例输入 #2

3 3

样例输出 #2

112

样例 #3

样例输入 #3

5 5

样例输出 #3

7136

提示

样例解释

数据规模与约定