[CSP-S2019] 划分

题目描述

2048 年，第三十届 CSP 认证的考场上，作为选手的小明打开了第一题。这个题的样例有 \(n\) 组数据，数据从 \(1 \sim n\) 编号，\(i\) 号数据的规模为 \(a_i\)。

小明对该题设计出了一个暴力程序，对于一组规模为 \(u\) 的数据，该程序的运行时间为 \(u^2\)。然而这个程序运行完一组规模为 \(u\) 的数据之后，它将在任何一组规模小于 \(u\) 的数据上运行错误。样例中的 \(a_i\) 不一定递增，但小明又想在不修改程序的情况下正确运行样例，于是小明决定使用一种非常原始的解决方案：将所有数据划分成若干个数据段，段内数据编号连续，接着将同一段内的数据合并成新数据，其规模等于段内原数据的规模之和，小明将让新数据的规模能够递增。

也就是说，小明需要找到一些分界点 \(1 \leq k_1 < k_2 < \cdots < k_p < n\)，使得

\(None\) \sum_{i=1}^{k_1} a_i \leq \sum_{i=k_1+1}^{k_2} a_i \leq \cdots \leq \sum_{i=k_p+1}^{n} a_i \(None\)

注意 \(p\) 可以为 \(0\) 且此时 \(k_0 = 0\)，也就是小明可以将所有数据合并在一起运行。

小明希望他的程序在正确运行样例情况下，运行时间也能尽量小，也就是最小化

\(None\) (\sum_{i=1}^{k_1} a_i)^2 + (\sum_{i=k_1+1}^{k_2} a_i)^2 + \cdots + (\sum_{i=k_p+1}^{n} a_i)^2 \(None\)

小明觉得这个问题非常有趣，并向你请教：给定 \(n\) 和 \(a_i\)，请你求出最优划分方案下，小明的程序的最小运行时间。

输入格式

由于本题的数据范围较大，部分测试点的 \(a_i\) 将在程序内生成。

第一行两个整数 \(n, type\)。\(n\) 的意义见题目描述，\(type\) 表示输入方式。

1. 若 \(type = 0\)，则该测试点的 \(a_i\) 直接给出。输入文件接下来：第二行 \(n\) 个以空格分隔的整数 \(a_i\)，表示每组数据的规模。
2. 若 \(type = 1\)，则该测试点的 \(a_i\) 将特殊生成，生成方式见后文。输入文件接下来：第二行六个以空格分隔的整数 \(x, y, z, b_1, b_2, m\)。接下来 \(m\) 行中，第 \(i (1 \leq i \leq m)\) 行包含三个以空格分隔的正整数 \(p_i, l_i, r_i\)。

对于 \(type = 1\) 的 23\(25 号测试点，\)a_i~ 的生成方式如下：

给定整数 \(x, y, z, b_1, b_2, m\)，以及 \(m\) 个三元组 \((p_i, l_i, r_i)\)。

保证 \(n \geq 2\)。若 \(n > 2\)，则 \(\forall 3 \leq i \leq n, b_i = (x \times b_{i-1} + y \times b_{i-2} + z) \mod 2^{30}\)。

保证 \(1 \leq p_i \leq n, p_m = n\)。令 \(p_0 = 0\)，则 \(p_i\) 还满足 \(\forall 0 \leq i < m\) 有 \(p_i < p_{i+1}\)。

对于所有 \(1 \leq j \leq m\)，若下标值 \(i (1 \leq i \leq n)\)满足 \(p_{j-1} < i \leq p_j\)，则有

a_i = \left(b_i \mod \left( r_j - l_j + 1 \right) \right) + l_j

上述数据生成方式仅是为了减少输入量大小，标准算法不依赖于该生成方式。

输出格式

输出一行一个整数，表示答案。

样例 #1

样例输入 #1

5 0
5 1 7 9 9

样例输出 #1

247

样例 #2

样例输入 #2

10 0
5 6 7 7 4 6 2 13 19 9

样例输出 #2

1256

样例 #3

样例输入 #3

10000000 1
123 456 789 12345 6789 3
2000000 123456789 987654321
7000000 234567891 876543219
10000000 456789123 567891234

样例输出 #3

4972194419293431240859891640

提示

【样例 1 解释】

最优的划分方案为 \(\{5,1\}, \{7\}, \{9\}, \{9\}\)。由 \(5 + 1 \leq 7 \leq 9 \leq 9\) 知该方案合法。

答案为 \((5 + 1)^2 + 7^2 + 9^2 + 9^2 = 247\)。

虽然划分方案 \(\{5\}, \{1\}, \{7\}, \{9\}, \{9\}\) 对应的运行时间比 \(247\) 小，但它不是一组合法方案，因为 \(5 > 1\)。

虽然划分方案 \(\{5\}, \{1,7\}, \{9\}, \{9\}\) 合法，但该方案对应的运行时间为 \(251\)，比 \(247\) 大。

【样例 2 解释】

最优的划分方案为 \(\{5\}, \{6\}, \{7\}, \{7\}, \{4,6,2\}, \{13\}, \{19,9\}\)。

【数据范围】

对于\(type=0\)的所有测试点,保证最后输出的答案\(\leq 4 \times 10^{18}\)

所有测试点满足：\(type \in \{0,1\}\)，\(2 \leq n \leq 4 \times 10^7\)，\(1 \leq a_i \leq 10^9\)，\(1 \leq m \leq 10^5\)，\(1 \leq l_i \leq r_i \leq 10^9\)，\(0 \leq x,y,z,b_1,b_2 < 2^{30}\)。