[CSP-S2019] Emiya 家今天的饭

题目描述

Emiya 是个擅长做菜的高中生，他共掌握 \(n\) 种烹饪方法，且会使用 \(m\) 种主要食材做菜。为了方便叙述，我们对烹饪方法从 \(1 \sim n\) 编号，对主要食材从 \(1 \sim m\) 编号。

Emiya 做的每道菜都将使用恰好一种烹饪方法与恰好一种主要食材。更具体地，Emiya 会做 \(a_{i,j}\) 道不同的使用烹饪方法 \(i\) 和主要食材 \(j\) 的菜（\(1 \leq i \leq n\)、\(1 \leq j \leq m\)），这也意味着 Emiya 总共会做 \(\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{m} a_{i,j}\) 道不同的菜。

Emiya 今天要准备一桌饭招待 Yazid 和 Rin 这对好朋友，然而三个人对菜的搭配有不同的要求，更具体地，对于一种包含 \(k\) 道菜的搭配方案而言：

• Emiya 不会让大家饿肚子，所以将做至少一道菜，即 \(k \geq 1\)
• Rin 希望品尝不同烹饪方法做出的菜，因此她要求每道菜的烹饪方法互不相同
• Yazid 不希望品尝太多同一食材做出的菜，因此他要求每种主要食材至多在一半的菜（即 \(\lfloor \frac{k}{2} \rfloor\) 道菜）中被使用

这里的 \(\lfloor x \rfloor\) 为下取整函数，表示不超过 \(x\) 的最大整数。

这些要求难不倒 Emiya，但他想知道共有多少种不同的符合要求的搭配方案。两种方案不同，当且仅当存在至少一道菜在一种方案中出现，而不在另一种方案中出现。

Emiya 找到了你，请你帮他计算，你只需要告诉他符合所有要求的搭配方案数对质数 \(998,244,353\) 取模的结果。

输入格式

第 1 行两个用单个空格隔开的整数 \(n,m\)。

第 2 行至第 \(n + 1\) 行，每行 \(m\) 个用单个空格隔开的整数，其中第 \(i + 1\) 行的 \(m\) 个数依次为 \(a_{i,1}, a_{i,2}, \cdots, a_{i,m}\)。

输出格式

仅一行一个整数，表示所求方案数对 \(998,244,353\) 取模的结果。

样例 #1

样例输入 #1

2 3 
1 0 1
0 1 1

样例输出 #1

3

样例 #2

样例输入 #2

3 3
1 2 3
4 5 0
6 0 0

样例输出 #2

190

样例 #3

样例输入 #3

5 5
1 0 0 1 1
0 1 0 1 0
1 1 1 1 0
1 0 1 0 1
0 1 1 0 1

样例输出 #3

742

提示

【样例 1 解释】

由于在这个样例中，对于每组 \(i, j\)，Emiya 都最多只会做一道菜，因此我们直接通过给出烹饪方法、主要食材的编号来描述一道菜。

符合要求的方案包括：

• 做一道用烹饪方法 1、主要食材 1 的菜和一道用烹饪方法 2、主要食材 2 的菜
• 做一道用烹饪方法 1、主要食材 1 的菜和一道用烹饪方法 2、主要食材 3 的菜
• 做一道用烹饪方法 1、主要食材 3 的菜和一道用烹饪方法 2、主要食材 2 的菜

因此输出结果为 \(3 \bmod 998,244,353 = 3\)。 需要注意的是，所有只包含一道菜的方案都是不符合要求的，因为唯一的主要食材在超过一半的菜中出现，这不满足 Yazid 的要求。

【样例 2 解释】

Emiya 必须至少做 2 道菜。

做 2 道菜的符合要求的方案数为 100。

做 3 道菜的符合要求的方案数为 90。

因此符合要求的方案数为 100 + 90 = 190。

【数据范围】

对于所有测试点，保证 \(1 \leq n \leq 100\)，\(1 \leq m \leq 2000\)，\(0 \leq a_{i,j} < 998,244,353\)。